欧式期权定价基本原理及其计算公式

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
d S t = μ S t d t + σ S t d w t (2) dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2 d S t ​ = μ S t ​ d t + σ S t ​ d w t ​ ( 2 )
其中 w t w_t w t ​ 为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下 w t p + ∫ 0 t θ s d t = w t Q (3) w_t^ + \int_^ \theta_s d_t = w_t^ \tag3 w t p ​ + ∫ 0 t ​ θ s ​ d t ​ = w t Q ​ ( 3 )

期权定价公式的推导（欧式）

Marina-ju 于 2020-04-15 17:46:10 发布 4239 收藏 9

1. C = e − r T E Q [ m a x ( S T − K , 欧式期权定价基本原理及其计算公式 0 ) ] C = e^E^[max(S_T-K,0)] C = e − r T E Q [ m a x ( S T ​ − K , 0 ) ]
又可以写为 C = e − r T E Q [ ( S T − K ) ] I 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 I S T > = K ] (1) C = e^E^[(S_T-K)]II_ =K >] \tag 1 C = e − r T E Q [ ( S T ​ − K ) ] I I S T ​ > = K ​ ] ( 1 )
其中 Q Q Q 表示在风险中性下的利率测度
I I S T > = K II_= K> I I S T ​ > = K ​ 为示性函数，用来表示 S T S_T S T ​ 和 K K K 之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
d S t = μ S t d t + σ S t d w t (2) dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2 d S t ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 = μ S t ​ d t + σ S t ​ d w t ​ ( 2 )
其中 w t w_t w t ​ 为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下 w t p + ∫ 0 t θ s d t = w t Q (3) w_t^

+ \int_^ \theta_s d_t = w_t^ \tag3 w t p ​ + ∫ 0 t ​ θ s ​ d t ​ = w t Q ​ ( 3 )

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
d S t Q = μ S t d t + σ S t ( d W t Q − θ s d t ) (4) dS_t^ =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^-\theta_s dt) \tag4 d S t Q ​ = μ S t ​ d t + σ S t ​ ( d W t Q ​ − θ s ​ d t ) ( 4 )

因为 θ s = μ − r σ \theta_s =\frac<\mu - r> θ s ​ = σ μ − r ​ ,所以
d S t Q = r S t d t + σ S t d W t Q (5) d S_t^ = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^ \tag5 d S t Q ​ = r S t ​ d t + σ S t ​ d W t Q ​ ( 5 )
⇒ S t = S 0 e x p ( ( r − 1 2 σ 2 ) t + σ W t Q ) \Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac\sigma^2)t + \sigma W_t^) ⇒ S t ​ = S 0 ​ e x p ( ( r − 2 1 ​ σ 2 ) t + σ W t Q ​ )

因为 d w t = ϵ T dw_t = \epsilon \sqrt d w t ​ = ϵ T

​ ,其中 ϵ \epsilon ϵ 服从正态分布，T为时间，所以 ⇒ S T = S 0 e x p [ ( r − 1 2 σ 2 ) T + 欧式期权定价基本原理及其计算公式 σ ϵ T ] (6) \Rightarrow S_T = S_0 exp[(r-\frac\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt] \tag 6 ⇒ S T ​ = S 0 ​ e x p [ ( r − 2 1 ​ σ 2 ) T + σ ϵ T

如果 ϵ \epsilon 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ϵ 服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) ,则 E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ] = ∫ a ∞ e m + λ ϵ . 2 π e − ϵ 2 2 E[e^ a>>] = \int_a^\infty e^.\sqrt<2\pi>e^> E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ​ ] = ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ . 2 π ​ e 2 − ϵ 2 ​ ,其中 m , λ , a m,\lambda,a 欧式期权定价基本原理及其计算公式 m , λ , a 为常数 ，得到： ∫ a ∞ e m + λ ϵ 1 2 π e − ϵ 2 2 d ϵ \int _a^<\infty>e^ \frac<\sqrt<2\pi>>e^>d\epsilon ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ 2 π ​ 1 ​ e − 2 ϵ 2 ​ d ϵ 令 ϵ = x \epsilon = x ϵ = x
⇒ ∫ a ∞ 1 2 π e − ( x − λ ) 2 2 e λ 2 + m \Rightarrow \int _a^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^\frac<-(x-\lambda)^2>e^<\frac<\lambda>+m> ⇒ ∫ a ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − ( x − λ ) 2 ​ e 2 λ ​ + m 令 y = x − λ y = x-\lambda y = x − λ ⇒ ∫ a − λ ∞ 1 2 π e − 欧式期权定价基本原理及其计算公式 y 2 2 e λ 2 2 + m d y (0) \Rightarrow \int_^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^>e^<\frac<\lambda^2 >+m>dy \tag 0 ⇒ ∫ a − λ ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − y 2 ​ e 2 λ 2 ​ + m d y ( 0 )
所以，式（0）也是服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) 的
所以原式= e λ 2 2 [ 1 − N ( a − λ ) ] = e λ 2 2 + m N ( λ − a ) e^<\frac<\lambda^2>>[1-N(a-\lambda)] = e^<\frac<\lambda^2>+m >N(\lambda -a ) e 2 λ 2 ​ [ 1 − N ( a − λ ) ] = e 2 λ 2 ​ + m N ( λ − a )

4.可以将（1）式写为 C = e − r T E Q [ S T I I S 欧式期权定价基本原理及其计算公式 T > = K ] − E Q [ K I I S T > = K ] (7) C = e^E^[S_TII_ =K >] -E^Q[ K_II =K > ] \tag 7 C = e − r T E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K ​ ] − E Q [ K I ​ I S T ​ > = K ] ( 7 ) 其中 e − r T E Q [ S T I I S T > = K ] e^E^Q[S_T II_=K>] e − r T E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K ​ ] 等价于

期权定价公式的推导（欧式）

Marina-ju 于 2020-04-15 17:46:10 发布 4240 收藏 9

1. C = e − r T E Q [ m a x ( S T − K , 0 ) ] C = e^E^[max(S_T-K,0)] C = e − r T E Q [ m a x ( S T ​ − K , 0 ) ]
又可以写为 C = e − r T E Q [ ( S T − K ) ] I I S T > = K ] (1) C = e^E^[(S_T-K)]II_ =K >] \tag 1 C = e − r T E Q [ ( S T ​ − K ) ] I I S T ​ > = K ​ ] ( 1 )
其中 Q Q Q 表示在风险中性下的利率测度
I I S T > = K II_= K> I I S T ​ > = K ​ 为示性函数，用来表示 S T S_T S T ​ 和 K K K 之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
d S t = μ S t d t + σ S t d w t (2) dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_tdw_t \tag2 d S t ​ = μ S t ​ d t + σ S t ​ d w t ​ ( 2 ) 欧式期权定价基本原理及其计算公式
其中 w t w_t w t ​ 为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下 w t p + ∫ 0 t θ s d t = w 欧式期权定价基本原理及其计算公式 t Q (3) w_t^

+ \int_^ \theta_s d_t = w_t^ \tag3 w t p ​ + ∫ 0 t ​ θ s ​ d t ​ = w t Q ​ ( 3 )

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
d S t Q = μ S t d t + σ S t ( d W t Q − θ s d t ) (4) dS_t^ =\mu S_tdt +\sigma S_t(dW_t^-\theta_s 欧式期权定价基本原理及其计算公式 dt) \tag4 d S t Q ​ = μ S t ​ d t + σ S t ​ ( d W t Q ​ − θ s ​ d t ) ( 4 )

因为 θ s = μ − r σ \theta_s =\frac<\mu - r> θ s 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ​ = σ μ − r ​ ,所以
d S t Q = r S t d t + σ S t d W t Q (5) d S_t^ = rS_tdt + \sigma S_t dW_t^ \tag5 d S t Q ​ = r S t ​ d t + σ S t ​ d W t Q ​ ( 5 )
⇒ S t = S 0 e x p ( ( r − 1 2 σ 2 ) t + σ W t Q ) \Rightarrow S_t = S_0 exp((r-\frac\sigma^2)t 欧式期权定价基本原理及其计算公式 + \sigma W_t^) ⇒ S t ​ = S 0 ​ e x p ( ( r − 2 1 ​ σ 2 ) t + σ W t Q ​ )

因为 d w t = ϵ T dw_t = \epsilon \sqrt d w t ​ = ϵ T

​ ,其中 ϵ \epsilon ϵ 服从正态分布，T为时间，所以 ⇒ S T = S 0 e x p [ ( r − 1 2 σ 2 ) T + σ ϵ T ] (6) \Rightarrow S_T = S_0 exp[(r-\frac\sigma^2)T + \sigma \epsilon \sqrt] \tag 6 ⇒ S T ​ = S 0 ​ e x p [ ( r − 2 1 ​ σ 2 ) T + σ ϵ T

如果 ϵ \epsilon ϵ 服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) ,则 E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ] = ∫ a ∞ e m + λ ϵ . 2 π e − ϵ 2 2 E[e^ a>>] = \int_a^\infty e^.\sqrt<2\pi>e^> E [ e m + λ ϵ I I ϵ > a ​ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 ] = ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ . 2 π ​ e 2 − ϵ 2 ​ ,其中 m , λ , a m,\lambda,a m , λ , a 为常数 ，得到： ∫ a ∞ e m + λ ϵ 1 2 π e − ϵ 2 2 d ϵ \int _a^<\infty>e^ \frac<\sqrt<2\pi>>e^>d\epsilon ∫ a ∞ ​ e m + λ ϵ 2 π ​ 1 ​ e − 2 ϵ 2 ​ d ϵ 令 ϵ = x \epsilon = x ϵ = x
⇒ ∫ 欧式期权定价基本原理及其计算公式 a ∞ 1 2 π e − ( x − λ ) 2 2 e λ 2 + m \Rightarrow \int _a^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^\frac<-(x-\lambda)^2>e^<\frac<\lambda>+m> ⇒ ∫ a ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − ( x − λ ) 2 ​ e 2 λ ​ + m 令 y = x − λ y = x-\lambda y = x − λ ⇒ ∫ a − λ ∞ 1 2 π e − y 2 2 e λ 2 2 + m d y (0) \Rightarrow \int_^ <\infty>\frac<\sqrt<2\pi>>e^>e^<\frac<\lambda^2 >+m>dy \tag 0 ⇒ ∫ a − λ ∞ ​ 2 π ​ 1 ​ e 2 − y 2 ​ e 2 λ 2 ​ + m d y ( 0 )
所以，式（0）也是服从标准正态分布 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N ( 0 , 1 ) 的
所以原式= e λ 2 欧式期权定价基本原理及其计算公式 2 [ 1 − N ( a − λ ) ] = e λ 2 2 + m N ( λ − a ) e^<\frac<\lambda^2>>[1-N(a-\lambda)] = e^<\frac<\lambda^2>+m >N(\lambda -a ) e 2 λ 2 ​ [ 1 − N ( a − λ ) ] = e 2 λ 2 ​ + m N ( λ − a )

4.可以将（1）式写为 C = e − r T E Q [ S T I I S T > = K ] − E Q [ K I I S T > = K ] (7) C = e^E^[S_TII_ =K >] -E^Q[ K_II =K > ] \tag 7 C = e − r T E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K ​ ] − E Q [ K I ​ I S T ​ > = K ] ( 7 ) 其中 e − r T E Q [ S T I I S T > = K ] e^E^Q[S_T II_=K>] e − r T E Q [ S T ​ I I S T ​ > = K ​ ] 等价于

欧式期权定价基本原理及其计算公式

第1节 欧式期权价格 1.1 简介 1.2 Python 代码实现计算 1.3 细节说明 1.3.1 参数说明 1.3.2 价格和价值 1.3.3 正态分布累计概率函数N(x)N(x)N(x) 1.3.4 欧式期权的看跌-看涨平价关系 1.3.5 计算中使用无风险利率.

欧式二元期权的定价公式及实现 欧式期权定价基本原理及其计算公式 欧式期权定价基本原理及其计算公式

用python进行简单欧式期权定价

###期权计算 from math import log,sqrt,exp from scipy.stats import norm def call_option_pricer(spot,strike,maturity,r,vol): d1=(log(spot/strike)+(r+0.5*vol*vol)*maturity)/vol/sqr

美式期权、欧式期权比较分析——定价与风险管理

BSM的两个基本问题与python实现（欧式期权定价公式）

在我们的定义中，定量分析是数学或统计学方法在市场数据上的应用。 ——John Forman . 欧式期权价值的计算。通过蒙特卡罗技术，模拟股票在一段时间中变化。 像Black-Scholes-Merton(1973)这样有深远影响.

欧式期权定价基本原理及其计算公式

内容提要

外汇期权作为一种新兴金融衍生产品，现已成为国际金融市场的重要避险和投资工具。通过合理的数学模型来确定外汇期权的价格，是投资者应用期权锁定外汇敞口、控制利率风险的关键性问题。合理的期权定价的一个重要前提，是对标的物分布作准确描述。该文对三种代表性外汇期权定价模型的原理及适用条件进行简要介绍和论述。

一、二叉树模型

二、Black-Scholes期权定价模型

期权定价模型中最具影响力的当属Black-Scholes模型。作为外汇期权定价模型的基础，该模型由Fischer Black和Myron Scholes于1973年在美国提出，并获得1997年度诺贝尔经济学奖。

三、Garman-Kohlhagen模型

其中，r：本国无风险利率，R：外国无风险利率，C：欧式买权价格，S：现在的即期汇率，E：外汇期权协定汇率，T：距到期日的时间， ：以复利计算的外汇年收益率方差，N(d1)和N(d2)：累积正态分布函数。Garman-Kohlhagen模型的实现需要一定的假设条件：(1)模型中期权的选择必须是欧式期权；(2)市场是完美的，交易成本和税金是零；(3)外汇价格服从几何布朗运动，波动率 恒定；(4)本国无风险利率r、外国无风险利率R和股票收益的变动幅度，在整个期权有效期内是常数。

END

作者：田琦程，江苏银行资金营运中心

原文《外汇期权定价模型比较与应用浅析》全文将刊载于中国外汇交易中心主办《中国货币市场》杂志2020.04总第222期。